بررسی ساختار تکرار توأم یک حلقه به همراه یک ایده آل

چکیده: فرض کنید ‎$ r $‎ یک حلقه جابجایی و یکدار و ‎$ t(r) $‎ حلقه کامل کسرهای ‎$ r $‎ باشد. زیر مدول ‎$ e $‎ از ‎$‎ -‎r $‎ مدول ‎$ t(r) $‎ را در نظر بگیرید و قرار دهید: ‎$ rowtie e={(r,r+e)|rin r,ein e} $‎. در این صورت ‎$ rowtie e $‎ یک حلقه یکدار و جابجایی است که آن را تکرار توأم حلقه ‎$ r $‎ به همراه زیرمدول ‎$ e $‎ می نامیم. این مفهوم اولین بار توسط آنا و فونتانا در سال ‎2006‎ مطرح شد‎.‎ حال فرض کنید ‎$ r $‎ یک حلقه یکدار و جابجایی و ‎$ m $‎ یک ‎$‎ -‎r $‎ مدول باشد. جمع و ضرب را روی ‎$ r imes m$‎ به صورت زیر تعریف کنید: به ازای هر ‎$‎: ‎(r_{1},m_{1}),(r_{2},m_{2})in r imes m $ ‎ ‎[ (r_{2},m_{2})+(r_{1},m_{1})=(r_{2}+r_{1},m_{2}+m_{1})~,~(r_{1},m_{1})(r_{2},m_{2})=(r_{1}r_{2}‎, ‎r_{1}m_{2}+r_{2}m_{1})]‎ در این صورت ‎$ r imes m $‎ با جمع و ضرب فوق یک حلقه جابجایی با عنصر یکه ‎(0و1)‎ است. این حلقه را ایده آل سازی ناگاتا می نامیم و آن را با علامت ‎$ rpropto m $‎ نمایش می دهیم‎.‎ در این پایان نامه ابتدا خصوصیات حلقه تکرار توأم ‎$ r $‎ به همراه ایده آل ‎$ i $‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین ساختار ایده آل های این حلقه را مطالعه می کنیم.